五點共圓

五點共圓（或稱五圓定理）可以從以下兩個方面來理解。

• 五個順次相交的圓，其圓心和一個交點位於第六個圓上，將另一個交點兩兩連接並延長和圓相接，可以構成五角星（不一定是正五角星）。
• 任意畫一個五角星（不一定是正五角星），再作出這個五角星的五個角上的三角形的外接圓，這五個圓除了在五角星上的那五個交點外，在五角星外面還有另五個交點。不管五角星是什麼樣，後五個交點一定在同一個圓上。這就是五圓定理。

前奏

2000年10月18日晚上。

• 江澤民：您好！您是張景中教授嗎？
• 張景中：是的，我是，
• 江：我是江澤民。
• 張：您好，江總書記！
• 江：院士科普叢書里有本《計算機怎樣解幾何題》，是您寫的吧？
• 張：是我寫的。我很高興您給叢書寫了序言呢。

就這樣，總書記從為《院士科普書系》作序談起，說到書系中由張景中院士撰寫的《計算機怎樣解幾何題》一書，又談到張院士的經歷和現在所從事的智能教育軟件的研究開發工作。總書記對各個問題均表示了極大的關心。

接着，兩人又在電話里一起研討計算機解幾何題的有關問題。總書記對機器定理證明所表示出的濃厚興趣和他在幾何方面的造詣，給張院士留下深刻的印象。

• 江：你那本《計算機怎樣解幾何題》，因為我寫的序，我這裡也有。有時間看看，也是一種很好的休息。我也是一個幾何愛好者呢。我教過幾何，不過是職業學校的，不是普通中學。那本書里有些我不明白的想請教你。
• 張：謝謝您看我的書。什麼問題呢？
• 江：書里有這麼個問題，關於一個一般的五角星的問題，不是我們國旗上的那種正五角星，是一般的，五個角大小不一定相同的五角星。五個角，是五個三角形。在每個三角形上作一個圓，外接圓，一共是五個圓。相鄰的兩個圓本來有一個交點，還會有一個新的交點。

這五個新的交點共圓。你的書上說用計算機解決了這個題。計算機得到的信息數目，每種信息都有兩個數字，一個較小，後面括弧里還有一個比較大的數，是什麼意思？

• 張：較小的是壓縮了的信息數目，括弧里較大的數是展開了的信息數目。比如五點共圓，這是一條壓縮了的信息。因為幾何里通常講的是四點共圓，一條五點共圓信息，包含了五條四點共圓信息，展開了就成為五條了。又如三條線段長度相等。a＝b＝c，是一條信息。展開了寫成a＝b、b＝c和a＝c，就是三條了。
• 江：這個題目，要證明五個共點圓，不用計算機，人也能證明吧？
• 張：能證。用幾何課本上的知識也能。只要證明其中四點共圓就可以了。
• 江：對的。因為三個點就能確定一個圓。我和陳省身，還有別的幾位數學家談到過這個題目。他們也說能證。你知道怎麼證嗎？
• 張：我想能證。我以前給數學奧林匹克選手講過。可以回憶起。
• 江：你能不能寫個證明給我看？我在休息時喜歡想點幾何問題，這是一種很好的休息。你估計多久能寫給我？
• 張：我想明天下午5點前能寫好。因為上午約好了的有個採訪。
• 江：好，你不用搞得很工整，普通的手寫就行。
• 張：那好，我就用手寫，不打印了。
• 江：謝謝，再見。
• 張：也謝謝您，再見。

10月19日，張景中院士將他為「五點共圓定理」所做的一個證明，連同他寫給江總書記的一封短信，交給有關部門，請他們轉交給江總書記。

後續

• 2000年12月20日，在澳門出席澳門特別行政區成立一周年慶祝活動的國家主席江澤民，來到濠江中學。他即興給同學們出了一道幾何題：證明一個任意五角星的五個外接圓的相交點，都在同一個圓形上。江主席還親自畫圖並寫下題目。
• 2000年12月31日，江澤民將答案刊登在報紙上。

證明方法

• 問題：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點分別為K、O、N、M、L。
• 求證：K、O、N、M、L五點共圓（見右圖）。

證明圖

證明：

• 連接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
• ∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180°
• ∴A、I、N、C四點共圓
• 同理A、K、I、C四點共圓從而A、C、N、K四點共圓
• ∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－ ∠LFG＝∠LFA＝∠LKA
• ∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）
• ∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）＋∠LKN＝180°
• 故K、L、M、N四點共圓
• 同理可證O、L、M、N四點共圓
• ∴K、O、N、M、L五點共圓證畢

提示：此題也可以運用密格爾（A．Miquel）定理證明。密格爾定理：已知AE、AF、ED、FB四條直線相交於A、B、C、D、E、F六點，構成四個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那麼，這四個三角形的外接圓共點。