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五點共圓
五點共圓（或稱五圓定理）可以從以下兩個方面來理解。
- 五個順次相交的圓，其圓心和一個交點位於第六個圓上，將另一個交點兩兩連接並延長和圓相接，可以構成五角星（不一定是正五角星）。
- 任意畫一個五角星（不一定是正五角星），再作出這個五角星的五個角上的三角形的外接圓，這五個圓除了在五角星上的那五個交點外，在五角星外面還有另五個交點。不管五角星是什麼樣，後五個交點一定在同一個圓上。這就是五圓定理。
證明方法
- 問題：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點分別為K、O、N、M、L。
- 求證：K、O、N、M、L五點共圓（見右圖）。
證明：
- 連接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
- ∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180°
- ∴A、I、N、C四點共圓
- 同理A、K、I、C四點共圓從而A、C、N、K四點共圓
- ∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－ ∠LFG＝∠LFA＝∠LKA
- ∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）
- ∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）＋∠LKN＝180°
- 故K、L、M、N四點共圓
- 同理可證O、L、M、N四點共圓
- ∴K、O、N、M、L五點共圓證畢
提示：此題也可以運用密格爾（A．Miquel）定理證明。密格爾定理：已知AE、AF、ED、FB四條直線相交於A、B、C、D、E、F六點，構成四個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那麼，這四個三角形的外接圓共點。
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