五点共圆
五点共圆（或称五圆定理）可以从以下两个方面来理解。
- 五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星（不一定是正五角星）。
- 任意画一个五角星（不一定是正五角星），再作出这个五角星的五个角上的三角形的外接圆，这五个圆除了在五角星上的那五个交点外，在五角星外面还有另五个交点。不管五角星是什么样，后五个交点一定在同一个圆上。这就是五圆定理。
证明方法
- 问题：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。
- 求证：K、O、N、M、L五点共圆（见右图）。
证明：
- 连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
- ∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180°
- ∴A、I、N、C四点共圆
- 同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆
- ∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180°－∠AKN又∠LMG＝180°－ ∠LFG＝∠LFA＝∠LKA
- ∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）
- ∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋（180°－∠AKN）＋∠LKN＝180°
- 故K、L、M、N四点共圆
- 同理可证O、L、M、N四点共圆
- ∴K、O、N、M、L五点共圆证毕
提示：此题也可以运用密格尔（A．Miquel）定理证明。密格尔定理：已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那么，这四个三角形的外接圆共点。
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