五点共圆

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五点共圆（或称五圆定理）可以从以下两个方面来理解。

五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星（不一定是正五角星）。
任意画一个五角星（不一定是正五角星），再作出这个五角星的五个角上的三角形的外接圆，这五个圆除了在五角星上的那五个交点外，在五角星外面还有另五个交点。不管五角星是什么样，后五个交点一定在同一个圆上。这就是五圆定理。

前奏

2000年10月18日晚上。

就这样，总书记从为《院士科普书系》作序谈起，说到书系中由张景中院士撰写的《计算机怎样解几何题》一书，又谈到张院士的经历和现在所从事的智能教育软件的研究开发工作。总书记对各个问题均表示了极大的关心。

接着，两人又在电话里一起研讨计算机解几何题的有关问题。总书记对机器定理证明所表示出的浓厚兴趣和他在几何方面的造诣，给张院士留下深刻的印象。

江：你那本《计算机怎样解几何题》，因为我写的序，我这里也有。有时间看看，也是一种很好的休息。我也是一个几何爱好者呢。我教过几何，不过是职业学校的，不是普通中学。那本书里有些我不明白的想请教你。
张：谢谢您看我的书。什么问题呢？
江：书里有这么个问题，关于一个一般的五角星的问题，不是我们国旗上的那种正五角星，是一般的，五个角大小不一定相同的五角星。五个角，是五个三角形。在每个三角形上作一个圆，外接圆，一共是五个圆。相邻的两个圆本来有一个交点，还会有一个新的交点。

这五个新的交点共圆。你的书上说用计算机解决了这个题。计算机得到的信息数目，每种信息都有两个数字，一个较小，后面括弧里还有一个比较大的数，是什么意思？

张：较小的是压缩了的信息数目，括弧里较大的数是展开了的信息数目。比如五点共圆，这是一条压缩了的信息。因为几何里通常讲的是四点共圆，一条五点共圆信息，包含了五条四点共圆信息，展开了就成为五条了。又如三条线段长度相等。a＝b＝c，是一条信息。展开了写成a＝b、b＝c和a＝c，就是三条了。
江：这个题目，要证明五个共点圆，不用计算机，人也能证明吧？
张：能证。用几何课本上的知识也能。只要证明其中四点共圆就可以了。
江：对的。因为三个点就能确定一个圆。我和陈省身，还有别的几位数学家谈到过这个题目。他们也说能证。你知道怎么证吗？
张：我想能证。我以前给数学奥林匹克选手讲过。可以回忆起。
江：你能不能写个证明给我看？我在休息时喜欢想点几何问题，这是一种很好的休息。你估计多久能写给我？
张：我想明天下午5点前能写好。因为上午约好了的有个采访。
江：好，你不用搞得很工整，普通的手写就行。
张：那好，我就用手写，不打印了。
江：谢谢，再见。
张：也谢谢您，再见。

10月19日，张景中院士将他为“五点共圆定理”所做的一个证明，连同他写给江总书记的一封短信，交给有关部门，请他们转交给江总书记。

2000年12月20日，在澳门出席澳门特别行政区成立一周年庆祝活动的国家主席江泽民，来到濠江中学。他即兴给同学们出了一道几何题：证明一个任意五角星的五个外接圆的相交点，都在同一个圆形上。江主席还亲自画图并写下题目。
2000年12月31日，江泽民将答案刊登在报纸上。

证明图

证明：

提示：此题也可以运用密格尔（A．Miquel）定理证明。密格尔定理：已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那么，这四个三角形的外接圆共点。